Inversão de ponto externo a circunferência $\alpha$

Nesta postagem, realizaremos uma construçãogeométrica para determinar a inversão de um ponto externo à circunferência de inversão.

Considere a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r\neq 0$ e o ponto $P$ externo a circunferência $\alpha$, na construção abaixo. Mova o ponto $R$ para alterar o raio $r$ de $\alpha$ e também mova o ponto $P$ na região do plano externo a $\alpha$.

1- Trace a semirreta $s=\overrightarrow{OP}$ e marque o ponto médio $M$ entre $O$ e $P$;
2- Trace a circunferência $\beta$ com centro em $M$ e raio $\overline{OM}$ e marque o ponto $A=\alpha\cap\beta$;
3- Trace a reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $A$ e marque o ponto $P'=t\cap s$ que é o ponto inverso de $P$ em relação a $\alpha$.

JUSTIFICANDO A CONSTRUÇÃO

Para que $P$ e $P'$ sejam inversos em relação a circunferência $\alpha$, temos que mostrar que eles satisfazem os seguintes critérios (da definição de ponto inverso)

1. Estão numa semirreta com origem em $O$;
2. $\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$.

O triângulo $\triangle_{OAP}$ é retângulo em $A$, pois $\overline{OP}$ é diâmetro de $\beta$, então, $90^\circ$ é arco capaz de $\overline{OP}$ e $\overline{AP}$ é uma altura do triângulo $\triangle_{OAP}$, pois $t$ é perpendicular a $s$ no ponto $P$. Conforme as relações métricas no triângulo retângulo $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OA}^2=r^2$$ e $P$ e $P'$ estão numa semirreta com origem em $O$, assim, $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.

$\square$

REFERÊNCIAS

KILHIAN, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. 2015. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html>. Acesso em: 14 jul. 2016.

MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Geometria. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 502 p.

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.