Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$

Vamos determinar, por meio de construções geométricas, o ponto inverso $P'$ do ponto $P$ que é interno à circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$.

Para construção, vamos considerar uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r\neq 0$e o ponto $P$ interno a $\alpha$.

A construção a seguir foi feita no Geogebra, nele é possível mover o ponto $P$ e o ponto $R$ para modificar o raio de $\alpha$. Clique no botões "Próximo" e "Anterior" para verificar a construção geométrica que determina o ponto $P'$, inverso a $P$ em relação a circunferência $\alpha$.

1- Semirreta $s=\overrightarrow{OA}$;

2- Reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $P$. Marcamos o ponto $A=\alpha\cap t$; e

3- Reta $v$ tangente a $\alpha$ no ponto $A$. Temos então ponto $P'=v\cap s$ que é o inverso do ponto $P$ em relação a $\alpha$.

JUSTIFICATIVA DA CONSTRUÇÃO
Para justificar a construção basta mostrar que $P$ e $P'$ satisfaz a definição de ponto inverso, ou seja, os seguintes critérios:

1. $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta com origem em $O$ e
2. $\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$.

Na construção, imediatamente verificamos que $P$ e $P'$ estão sobre a semirreta $s$ que tem origem em $O$, satisfaz o critério 1.

Vamos mostrar que $P$ e $P'$ satisfaz o critério 2. Temos o triângulo $\triangle_{AOP'}$ retângulo em $A$ (não vamos demonstrar que o triângulo $\triangle_{AOP'}$ é retângulo em $A$, mas se tiver curiosidade em ver a demonstração que $\overline{OA}$ e a reta $v$ são perpendiculares sugerimos a leitura de Souza(2014, p. 45)) com altura $\overline{AP}$ (pois $t\perp s$). Conforme as relações métricas no triângulo retângulo
$$\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=\overline{OA}^2$$

Como $\overline{OA}=r$, temos

$$\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=r^2$$

$\square$

Referências

KILHIAN, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. 2015. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2016.

SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2016.