Inversão na circunferência

A inversão na circunferência é uma transformação que associa um ponto interno de uma circunferência a um único ponto externo da mesma circunferência. Esta transformação é importante para realizar construções no h-plano tais como h-retas e estabelecer a reflexão de uma h-reta.

Nesta postagem, definiremos pontos inversos, ponto ideal, plano de inversão e inversão na circunferência e veremos que a inversão na circunferência é uma relação biunívoca.

DEFINIÇÃO 1

Considere $\alpha$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e os pontos $P$ e $P'$ distintos de $O$. Dizemos que $P'$ é ponto inverso de $P$ em relação a $\alpha$ se pertencerem a uma semirreta com origem em $O$ e $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$$ onde $\overline{OP}$ e $\overline{OP'}$ são as medidas dos respectivos segmentos de reta.

Na Construção 1, feita no Geogebra, verificamos que o ponto $P'$ é inverso a $P$ em relação a circunferência $\alpha$.

Construção 1: Mova o ponto $P$ e observe que a relação com $P'$ satisfaz a Definição 1

Como consequência da Definição 1 verificamos que $P'$ é o único ponto inverso de $P$ e $P$ é o único ponto inverso de $P'$ em relação a circunferência $\alpha$.

COROLÁRIO 1

Considere o ponto $P$ e a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$. Só há um único ponto $P'$ inverso a $P$ e $P$ é inverso a $P'$ em relação a $\alpha$.

DEMONSTRAÇÃO

Da Definição 1, os pontos $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta $t$ com orgiem em $O$, onde
$$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2\Rightarrow\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}}$$

Além disso, há uma relação posicional entre o ponto $P$ e a circunferência $\alpha$:

1. $P$ pode ser um ponto interno a $\alpha$, ou seja, $\overline{OP} < r$;
2. $P$ pode ser um ponto de $\alpha$, ou seja, $\overline{OP}=r$; e
3. $P$ pode ser um ponto externo a $\alpha$, ou seja, $\overline{OP} > r$.

Se $\overline{OP}=r$, então $\overline{OP'}=r$. Como $P$ é o único ponto que dista $r$ do ponto $O$ sobre a semirreta $t$, logo $P=P'$.

Se $P$ é um ponto interno de $\alpha$, então $P'$ é único e externo a $\alpha$.
$$\overline{OP} < r \Rightarrow \dfrac{r}{\overline{OP}} > 1\Rightarrow\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}} > r$$

De forma análoga, podemos mostrar que se $P$ é um ponto externo a $\alpha$, então $P'$ é único e interno a $\alpha$.

$\square$

Ainda considerando a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$ e os pontos $P$ e $P'$ sobre uma semirreta $t$ com origem $O$, onde $$\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}}$$.

Se $P$ estiver próximo de $\alpha$, $P'$ também se aproxima de $\alpha$, ou seja $$\lim_{\overline{OP}\rightarrow r}\left( \dfrac{r^2}{\overline{OP}}\right)=r$$

Se $P$ se aproxima de $O$, $P'$ fica cada vez mais distante, tendendo ao infinito $$\lim_{\overline{OP}\rightarrow 0}\left( \dfrac{r^2}{\overline{OP}}\right)=\infty$$

Se quisermos que o ponto $O$ tenha um ponto inverso em relação a circunferência $\alpha$, é necessário que este ponto esteja no infinito e pela arbitrariedade na escolha do ponto $O$, este pondo deve estar infinitamente distante de qualquer ponto. Como o infinito não incide no plano euclidiano, também é necessário que exista um plano que contenha o ponto que está no infinito. Assim, vamos definir o ponto no infinito e o plano que contem esse ponto.

DEFINIÇÃO 2
Seja $\mathbb{E}$ o plano euclidiano e $\Omega$ um ponto, que chamaremos de ponto ideal, tal que para todo $P\in\mathbb{E}$, $\overline{P\Omega}=\infty$ e $\Omega$ pertence a qualquer reta que incide em $\mathbb{E}$.

DEFINIÇÃO 3

Chamaremos de plano de inversão, denotaremos por $\mathbb{E}_\infty$, o plano determinado pelo plano euclidiano adicionado pelo ponto ideal.

$$\mathbb{E}_\infty=\mathbb{E}\cup\{\Omega\}$$

Agora, podemos definir a transformação que associa cada ponto no interior de uma circunferência a um ponto externo a circunferência.

DEFINIÇÃO 4

Seja $\alpha$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r$. A transformação geométrica em $\mathbb{E}_\infty$ que associa cada ponto $P$ ao seu inverso $P'$ em relação à $\alpha$ e é tal que $O$ é o inverso de $\Omega$ e $\Omega$ é o inverso de $O$ é denominada inversão na circunferência, $\alpha$ será denominada circunferência de inversão e O é o centro de inversão. 

Pelo Colorário 1, todo ponto $P\neq O$ e não pertencente a $\alpha$ tem um único ponto inverso $P'$ em $\mathbb{E}_\infty$, se $P$ é um ponto de $\alpha$, então $P$ é o próprio ponto inverso e o inverso de $O$ é $\Omega$ e o inverso de $\Omega$ é $O$, em relação a $\alpha$, então, a inversão na circunferência á um aplicação biunívoca.

Referências

MIRANDA, Danielle de. Posição relativa entre ponto e circunferência. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-ponto-circunferencia.htm>. Acesso em: 13 jul. 2016.

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 26 ago. 2014.