GEOMETRIA HIPERBÓLICA: H-retas perpendiculares

Nesta postagem, veremos uma construção de uma h-reta $t$ determinada por um de seus h-pontos, denominado por $P$, e uma de suas perpendiculares, denominada $r$. Para esta construção, consideraremos as seguintes situações:

1. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$;
2. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$;
3. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$; e
4. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$.

Seja o h-plano $\mathbb{H}$ limitado pela circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio não-nulo. $\beta$ é uma circunferência ortogonal a $\alpha$, com centro no ponto $Q$ e gera a h-reta $r$ que tem pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$. E $P$ é um h-ponto.

Vamos considerar que os pontos $O, P$ e $Q$ não são colineares em $\mathbb{E}$ (Situação 1)

CONSTRUÇÃO 1: $O,P$ e $Q$ não são colineares em $\mathbb{E}$ e $r$ não passa por $O$

1 - Determinar $P'$, inverso a $P$ em relação a $\alpha$;

2 - Trace a metriatriz $c$ do segmento $\overline{PP'}$;

3 - Trace a reta $b=\overleftrightarrow{Z_1Z_2}$ e marque o ponto $S\in b\cap c$;

4 - Trace a circunferência $\rho$ de centro $S$ e raio $\overline{SP}$ e marque os pontos $Z_3,Z_4\in\alpha\cap\rho$;

5 - O arco $Z_3Z_4$ é a h-reta $t$ perpendicular a $r$ e passa no h-ponto $P$.

Justificativa da Construção 1

Como a circunferência $\rho$ passa pelos pontos $P,P'$, que são inversos em relação à circunferência $\alpha$, pelo Teorema 1 - Circunferências Ortogonais, $\rho$ e $\alpha$ são circunferências ortogonais. Ainda pelo Teorema 1 - Circunferências Ortogonais, os ponto $Z_1,Z_2\in\alpha$ são inversos em relação a $\rho$, como estes ponto também são pertencentes à circunferência $\beta$, então $\rho$ e $\beta$ são ortogonais. Assim, o arco $Z_3Z_4$ é a h-reta $t$ perpendicular a $r$.

$\square$

Construção para o caso dos ponto $O,P$ e $Q$ serem colineares em $\mathbb{E}$ (Situação 2). 

CONSTRUÇÃO 2: $O,P$ e $Q$ são colineares em $\mathbb{E}$ e $r$ não passa por $O$

1 - Trace a reta $h=\overleftrightarrow{OQ}$;
2 - Marque os pontos $Z_3,Z_4\in\alpha\cap h$;
3 - O segmento $\overline{Z_3Z_4}$ é a h-reta $t$ perpendicular a $r$ passando por $P$.

Justificativa da Construção 2

Pelo Lema 2- Circunferências ortogonais, a reta $h$ é ortogonal à circunferência $\beta$, assim, o segmento $t=\overline{Z_3Z_4}$ é a h-reta perpendicular a h-reta $r$ que passa pelo h-ponto $P$.

$\square$

Vamos considerar que a h-reta $r$, com ponto ideais $Z_1$ e $Z_2$, passa pelo h-ponto $O$, ou seja, $r$ é um diâmetro de $\alpha$ no plano eucidiano.

Na construção a seguir, o segmento $\overline{OP}$ não é perpendicular ao segmento $\overline{Z_1Z_2}$ (Situação 3).

CONSTRUÇÃO 3: $\overline{OP}$ e $\overline{Z_1Z_2}$ não são perpendiculares em $\mathbb{E}$ e $r$ passa por $O$

Caso o segmento $\overline{OP}$ seja perpendicular ao segmento $\overline{Z_1Z_2}$ (Situação 4), então a h-reta $t$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa pelo ponto $P$.

Figura 1: h-reta $t$ é perpendicular a h-reta $r$ e passa pelo h-ponto $P$