Inversão de circunferência em relação a outra circunferência

Veremos que a inversão de uma circunferência em relação a outra pode ser uma circunferência que não passa pelo centro de inversão ou uma reta que não passa pelo centro de inversão. Em uma caso particular, mostraremos a inversão de uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão.

Teorema 1 - Sejam $\alpha$ uma circunferência com centro em $O$ e raio $r>0$ e $\beta$ uma circunferência de raio não-nulo.Considerando $\alpha$ como a circunferência de inversão e $\beta '$ o inverso da circunferência $\beta$.

1. Se $\beta$ passa pelo centro de inversão $O$, então $\beta '$ é uma reta que passa por $O$; e
2. se $\beta$ não passa por $O$, então $\beta '$ é uma circunferência que não passa por $O$.

DEMONSTRAÇÃO

1. Como a inversão numa circunferência é uma aplicação biunívoca (ver Definição 4 - Inversão na circunferência) e pelo Teorema 1 - Inversão de reta em relação à circunferência a inversão de uma reta que não passa pelo centro de inversão, então, o inverso da circunferência $\beta$ que passa pelo centro de inversão $O$ é a reta $\beta'$ que não passa pelo centro de inversão, ver Figura 1.

Figura 1: Inversão da circunferência $\beta$ que passa pelo centro de invesão $O$

2. Observe a Figura 2, $P$ é um ponto fixo da circunferência $\beta$, $P'$ é o seu inverso, $Q$ é um ponto qualquer de $\beta$ e $Q'$ é o seu inverso. Pela Definição 1 - Inversão na circunferência, temos:
$$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OQ}\cdot\overline{OQ'}=r^2\Rightarrow\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}=\dfrac{\overline{OQ'}}{\overline{OP'}}$$
Observe que $\angle QOP \cong \angle Q'OP'$, pois são coincidentes (ou ângulo comum aos triângulos $\triangle_{QOP}$ e $\triangle_{Q'OP'}$), assim, pelo caso de congruência de triângulo Lado-Ângulo-Lado, os triângulo $\triangle_{QOP}$ e $\triangle_{Q'OP'}$ são congruentes. Pela arbitrariedade na escolha do ponto $Q$, vemos que o lugar geométrico do ponto $Q'$ é uma circunferência. Como $\beta$ não tende ao infinito, ou seja, $\Omega\notin\beta$, então $Q'$ não passa por $O$. Portanto, o inverso da circunferência $\beta$ é a circunferência $\beta '$ que não passa pelo centro de inversão $O$.

Figura 2: Inversão da circunferência $\beta$ que não passa pelo centro de invesão $O$

$\square$

De modo particular, se $\beta$ é uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão $\alpha$, a sua inversão, $\beta '$, é a própria circunferência $\beta$, ver Figura 3, sendo $P$ um ponto qualquer de $\beta$, pelo Teorema 1 - Circunferências ortogonais, o seu inverso, $P'$, também é um ponto de $\beta$, assim, o inverso da circunferência $\beta$ é a própria circunferência $\beta$.

Figura 3: $\alpha$ e $\beta$ são ortogonais e $\beta$ e inversa a ela mesma em relação a $\alpha$

Abaixo, temos a Construção 1 feita no Geogebra, onde é possível observa o $\beta '$, o inverso da circunferência $\beta$ em relação à circunferência $\alpha$, movendo o ponto $P$.

Construção 1: Inversão da circunferência $\beta$ em relação à circunferência $\alpha$