GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Um pouco mais sobre h-circunferências no Disco de Poincaré
Na postagem Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré é mostrado que uma h-circunferência também é uma circunferência euclidiana, porém o centro euclidiano (centro) e o centro hiperbólico (h-centro) não coincidem, exceto se as h-circunferências e o Disco de Poincaré são concêntricos.
Nesta postagem, apresentaremos algumas relações entre o plano hiperbólico, h-circunferências e h-eixo de simetria.
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| Figura 1 |
DEMONSTRAÇÃO
No plano \mathbb{H}, como O e O' são simétricos em relação à h, então, no plano euclidiano, O e O' são inversos em relação à circunferência e, então, O, O' e O_e são colineares.
Para prova que o ponto O_{d'} pertence à reta \overline{OO_e}, vamos considerar as retas i e j, tangentes a d em D e E, respectivamente, e interceptam-se no ponto O_e, ver Figura 2.
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| Figura 2 |
Deste modo, a reta \overline{OO_e} é bissetriz do ângulo \angle DO_eE (ver nos comentários a justificativa desta conclusão).
Tomando e como uma circunferência de inversão, conforme o Teorema 1 - Inversão de reta em relação à circunferência, como as retas i e j passam pelo centro de inversão, então, suas respectivas inversões são as próprias retas i e j. Temos ainda que se D' e E' são os inversos dos pontos D e E, respectivamente \left(D\in d\cap i,E\in d\cap j\right)\Rightarrow \left(D'\in d'\cap i, E'\in d'\cap j\right)
Além disso, como i e j interceptam d em um único ponto, cada um, então, cada reta intercepta d' em um único ponto. Assim, as retas i e j são tangentes a d' em D' e E', respectivamente. Portanto, o centro de d', ponto O_{d'}, também pertence à bissetriz do ângulo \angle DO_eE, ou seja O_{d'}\in\overline{OO_e}
Assim, os pontos O, O_{d'} e O' são colineares.
\square
DEMONSTRAÇÃO
Sendo c e e circunferências ortogonais, então, o inversos de e em relação a c é a própria circunferência e (ver Inversão de circunferência em relação a outra circunferência). Como O é o centro de c e O' é o inverso de O em relação a e, pelo Teorema 1-Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão, o inversos de O' em relação a c é O_e.
\square
Tomando como definição de uma bissetriz de um ângulo \alpha como sendo \text{ o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes dos lados do ângulo }\alpha
Então, uma forma para determinarmos a bissetriz de um ângulo \alpha é encontrar um ponto P equidistante dos lados de \alpha e traçar a reta que passa por P e pelo vértice do ângulo \alpha.
Posto isso, vemos que a circunferência d está contida no ângulo \alpha=\angle DO_eE e o centro de d, ponto O, é equidistante das semirretas \overrightarrow{O_eD} e \overrightarrow{O_eE}, que são os lados do ângulo \alpha, então, a reta \overline{OO_e} é bissetriz do ângulo \alpha.ResponderExcluir