Modelagem Matemática na promoção de calças

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Garimpando a internet, atrás de questões interessantes em provas de vestibulares e concursos públicos, uma me chamou a atenção e inspirou esta publicação. Trata-se de uma questão do vestibular 2016.1 do IFG, especificamente, a questão 17. Veja a questão:

Uma loja anuncia descontos de acordo com o cartaz abaixo.

Sem o desconto, o preço de venda de uma calça é R\$ 100,00. Seu preço de custo é R\$ 50,00. Sabe-se que, nas vendas à crédito e débito, a loja repassa 5% do valor da venda para a agência de cartões. Assinale a resposta correta.

a) O lucro na calça é maior se a venda é à vista.
b) Tanto na venda à vista quanto no cartão, o lucro é o mesmo.
c) Na venda no cartão, o lucro na calça é R\$ 20,00.
d) Na venda no cartão, o lucro na calça é R\$ 22,50.
e) Na venda no cartão, o lucro na calça é de R\$ 21,25.

Resolvendo a questão

A questão apresenta uma promoção de venda de calça, onde oferece um desconto sobre o valor de venda (R\$100) dependendo da forma de pagamento. Se for à vista, o desconto será de 40% e se o cliente pagar no cartão, o desconto será de 25%. Também são apresentados os custos da loja com as calças da promoção. Cada calça foi obtida por um preço de R\$50, e a loja paga uma taxa de 5% no valor de venda em cada pagamento realizado no cartão (crédito ou débito).

As alternativas se referem ao lucro (L) da loja sobre cada calça que é a diferença entre o valor de venda (V) e o valor de custo (C). $$L=V-C$$

Porém, o valor de venda sofre um desconto dependendo da forma de pagamento, a vista ou no cartão. Vamos representar por $V_v$ se a venda for à vista e $V_c$ se a venda for no cartão.

$$V_v=100\cdot(1-40\%)=60$$ $$V_c=100\cdot(1-25\%)=75$$

 O mesmo acontece com o valor de custo. Então, vamos representar com $C_v$ o custo para vendas à vista e $C_c$ como o custo para vendas no cartão.

$$C_v=50$$ $$C_c=50+75\cdot 5\%=50{,}75$$

Desta forma, o lucro também vai depender da forma da forma de pagamento. Vamos tomar $L_v$ como lucro por pagamento à vista e $L_c$ o lucro por pagamento no cartão.

$$L_v=V_v-C_v=60-50=10$$ $$L_c=V_c-C-c=75-53{,}75=21{,}25$$

Assim, verificamos que a alternativa correta é a letra E.

Modelando a promoção com lucro fixo e custo dependente do valor de venda

Veja que o custo para compras com pagamento à vista é fixo, mas se o pagamento for com cartão o custo vai depende do valor de venda. Será que é possível determinar o valor de venda se fixarmos um lucro?

Por exemplo, se desejarmos obter um lucro de R\$15 em cada calça, vamos manter as mesmas condições para o custo com a forma de pagamento sendo cartão, ou seja, custo de R\$50 para obter cada calça e mais o custo de 5% do valor da venda retido pela agência de cartões. Considerando $V$ como o valor de venda, $C$ o valor de custo e $L$ o lucro, temos que

$$V=C+L$$

No nosso exemplo, temos $L=15$ e $C=50+0{,}05\cdot V$, ou seja

$$V=50+0{,}05\cdot V+15\Rightarrow V-0{,}05\cdot V=0{,}95\cdot V=65\Rightarrow V=\frac{65}{0{,}95}\Rightarrow V=68{,}43$$

Assim $L=V-C\Rightarrow L=68{,}43-50-68{,}43\cdot 0{,}05=18{,}43-3{,}43=15$

Com a intenção de generalizar esta situação, vamos considerar que o dono da loja queira obter um lucro fixo $L$ e cada calça (ou qualquer outro produto) tenha um custo fixo de obtenção $c$ e mais um custo variável que é uma taxa $i$ do valor de venda $V$, apresentando um custo total $C=c+i\cdot V$. Essa taxa pode ser a soma de todas as taxas que incidem sobre o $V$, por exemplo, comissão dos vendedores, impostos, taxa de administração do cartão, etc. Com estas informações, podemos determinar uma fórmula para o cálculo do valor de venda $V$

$$V=L+C\Rightarrow V=L+c+i\cdot V\Rightarrow V-i\cdot V=L+C\Rightarrow$$ $$V=\frac{L+C}{1-i}$$

Modelando o valor de venda com custo fixo e lucro dependente do valor de venda

Vamos considerar o seguinte contexto, o dono da loja tem um custo fixo $C$, porém, o lucro será uma taxa $t$ do valor de venda $V$. Assim, temos que o lucro $L=t\cdot V$.

$$V=L+C\Rightarrow V=t\cdot V+C\Rightarrow V-t\cdot V=C\Rightarrow V=\frac{C}{1-t}$$

Por exemplo, considerando o custo fixo $C=50$ de um produto e desejo de lucro de $t=20\%$ sob o valor de venda $V$, então, o produto deverá ser vendido por

$$V=\frac{50}{1-0{,}2} =62{,}5$$

Custo e lucro dependentes do valor de venda

Agora, vamos considerar que o produto tenha um custo fixo $c$ e outro variável que é uma taxa $i$ sob o valor de venda $V$ totalizando $C=c+i\cdot V$. Também vamos considerar que o lucro será uma taxa $t$ sob o valor de venda $V$, ou seja $L=t\cdot V$. Assim, temos

$$V=L+C\Rightarrow V=t\cdot V+ c+i\cdot V\Rightarrow V-(t+i)\cdot V=c \Rightarrow V=\frac{c}{1-(i+t)}$$

Vamos supor que o dono da loja obtenha uma calça por R\$50. Sob o valor de venda, ele tenha que pagar um imposto com taxa de 17% além da comissão de 5% ao vendedor. Ele ainda deseja um lucro de 10% no valor de venda. Vamos determinar o valor de venda da calça que satisfaça as condições?

Como custos, temos um valor fixo $c$=50 e duas taxas sob o valor de venda $V$, 17% de imposto e 5% de comissão para o vendedor, assim, temos que $i=17\%+5\%=22\%$. O lucro é uma taxa $t=10\%$ do valor de $V$.

Agora, temos condições de determinar o valor de venda $V$ da calça.

$$V=\frac{c}{1-(i+t)}\Rightarrow V=\frac{50}{1-(0{,}22+0{,}1)}=\frac{50}{1-0{,}32}=\frac{50}{0{,}68}=73{,}53$$

Considerações finais

Não falamos sobre os descontos que a loja poderia oferecer aos clientes, pois se trata de estratégia de marketing e isso extrapola os objetivos desta publicação. E Deixo como desafio as fórmulas para encontrar o valor de venda caso o lucro fosse calculado sob o valor de custo.

Coloca nos comentários o que você achou da postagem e as respostas para o desafio.

Até a próxima!