Operações com números complexos - Exercícios resolvidos - 2022.1

Resolveremos questões que abordam o conteúdo de operações elementares com números complexos na forma algébrica (ou forma retangular). Se tiver interesse em estudar sobre o assunto, recomendo o vídeo a seguir

1) Sendo $w=2-3i$ e $z=12-5i$, determine $\dfrac{w}{z}$

a) $12+3i$             b) $\dfrac{3+2i}{5}$             c) $\dfrac{3-2i}{13}$             d) $\dfrac{5-2i}{7}$             e) $\dfrac{1-i}{12}$

Assim, temos

$$\dfrac{w}{z}=\dfrac{2-3i}{12-5i}$$

Vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador, ou seja, por $\overline{z}=12+5i$

$$\dfrac{w}{z}=\dfrac{2-3i}{12-5i}\cdot\color{Red}{\frac{12+5i}{12+5i} }=\dfrac{2\cdot 12+2\cdot 5i-3i\cdot 12-3i\cdot 5i}{12^2+5^2}=\dfrac{24+10i-36i-15i^2}{144+25}=$$$$=\dfrac{24-26i-15\cdot (-1)}{169}=\dfrac{39-26i}{169}=\dfrac{3-2i}{13}$$

Alternativa C

2) Sendo $w=2-3i$ determine $w^2$

a) $9+4i$              b) $-5-12i$              c) $-2+9i$              d) $4+3i$              e) $4-9i$

Temos

$$w^2=(2-3i)^2=2^2-2\cdot 2\cdot 3i+(3i)^2=4-12i+9i^2=4-12i+9\cdot (-1)=$$$$=4-12i-9=-5-12i$$

Alternativa B

3) Sendo $w=2-3i$ e $z=12-5i$, determine $\dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{z}$

a)$\dfrac{38+44i}{169}$            b) $\dfrac{14-9i}{7}$            c) $\dfrac{2-3i}{13}$            d) $\dfrac{9-14i}{144}$            e) $\dfrac{3+14i}{100}$

Temos

$$\begin{array}{l}\dfrac{1}{w}=\dfrac{1}{2-3i}\color{Red}{\cdot\dfrac{2+3i}{2+3i}}=\dfrac{2+3i}{2^2+3^2}=\dfrac{2+3i}{13}\\ \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{12-5i}\color{Red}{\cdot\dfrac{12+5i}{12+5i}}=\dfrac{12+5i}{12^2+5^2}=\dfrac{12+5i}{169}\end{array}$$

Assim

$$\dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2+3i}{13}+\dfrac{12+5i}{169}=\dfrac{13\cdot (2+3i)+12+5i}{169}=\dfrac{26+39i+12+5i}{169}=\dfrac{38+44i}{169}$$

Alternativa A