Demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo

Introdução

O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) é uma descoberta importante na história da matemática que une o cálculo diferencial e o cálculo integral, antes considerados ramos independentes. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu do problema da área, aparentemente não relacionados. O mentor de Newton, Isaac Barrow, percebeu que a derivação e a integração são processos inversos e que esses dois problemas estão estreitamente relacionados. O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a relação precisa entre a derivada e a integral, o que permitiu que Newton e Leibniz desenvolvessem o cálculo como um método sistemático, tornando possível calcular áreas e integrais com mais facilidade e precisão.

Graças ao TFC, o cálculo diferencial e o cálculo integral foram unificados em um único conceito. Newton e Leibniz foram capazes de explorar essa relação e desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Eles descobriram que o TFC permitia calcular áreas e integrais de maneira mais fácil e precisa, sem a necessidade de calcular limites de somas. Com isso, o cálculo se tornou uma ferramenta essencial para a resolução de problemas matemáticos em uma variedade de áreas, incluindo física, engenharia e economia. A descoberta do Teorema Fundamental do Cálculo é uma das principais realizações da história da matemática e continua a ter um papel fundamental na pesquisa e no ensino da matemática até hoje.

Normalmente, os livros apresentam o TFC em duas partes. A primeira parte do TFC (TFC 1) apresenta a derivada da uma função $g$ definida como $$g(x)=\int_a^x f(t)\; dt$$ onde $f$ é uma função contínua no intervalo de $[a, b]$ e $a\leq x\leq b$. A partir do TFC 1, é possível obter facilmente a segunda parte (TFC 2), que apresenta um método muito mais simples para o cálculo de integrais.

Apresentaremos a seguir a demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). No entanto, assumimos que você já possui conhecimento sobre limites, derivadas, a definição de integral e suas propriedades.

Teorema Fundamental do Cálculo

TFC 1 - Se $f$ for contínua em $[a, b]$, então a função $g$ definida por 

$$\begin{array}{ccc} \displaystyle g(x)=\int_a^x f(t)\; dt && a\leq x\leq b \end{array}$$

é contínua em $[a, b]$, é derivável em $(a, b)$ e $g'(x)=f(x)$.

DEMONSTRAÇÃO

Da definição de derivada, podemos obter a expressão

$$g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

Para simplificar, vamos considerar que $h>0$. Assim, vamos encontrar a expressão que representa $\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ a partir da definição de $g(x)$ 

$$g(x)=\int_a^x f(t)\; dt\Rightarrow g(x+h)=\int_a^{x+h} f(t)\; dt$$

Assim, temos que

$$\begin{array}{rlr}g(x+h)-g(x) & = \int_a^{x+h} f(t)\; dt-\int_a^x f(t)\; dt & \\
& = \int_a^x f(t)\; dt + \int_x^{x+h} f(t)\; dt-\int_a^x f(t)\; dt & \text{; Fizemos:}\int_a^{x+h} f(t)\; dt=\int_a^{x} f(t)\; dt+\int_x^{x+h} f(t)\; dt \\
& = \left(\int_a^x f(t)\; dt -\int_a^x f(t)\; dt\right) + \int_x^{x+h} f(t)\; dt & \\
\end{array}$$

Desta forma,

$$\label{eq}\begin{equation}g(x+h)-g(x)=\int_x^{x+h} f(t)\; dt\end{equation}$$

Dividindo os membros da Equação $\eqref{eq}$ por $h$, temos

$$\label{eq1}\begin{equation}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\; dt\end{equation}$$

Pelo Teorema do Valor Extremo, existem $u$ e $v$ pertencentes ao intervalo $[x, x+h]$ tais que $f(u)=m$ e $f(v)=M$, onde $m$ e $M$ são os valores mínimo e máximo absolutos da de $f$ no intervalor $[x, x+h]$. Assim, pelas propriedades das integrais, temos:

$$m\cdot (x+h-x)\leq\int_x^{x+h} f(t)\; dt\leq M\cdot (x+h-x)$$

$$f(u)\cdot h\leq\int_x^{x+h} f(t)\; dt\leq f(v)\cdot h$$

Dividindo essa desigualdade por $h$ (lembrando que consideramos $h>0$)

$$f(u)\leq\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\; dt\leq f(v)$$

Usando a Equação $\eqref{eq1}$ para substituir a parte do meio da desigualdade, temos

$$\label{eq2}\begin{equation}f(u)\leq\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\leq f(v)\end{equation}$$

Se tomarmos $h\rightarrow 0$, então $u\rightarrow x$ e $v\rightarrow x$, uma vez que $\{u, v\}\subset [x, x+h]$. Assim

$$\begin{array}{cccc}\lim_{h\rightarrow 0}f(u)=\lim\limits_{u\rightarrow x}f(u)=f(x) && \lim_{h\rightarrow 0}f(v)=\lim\limits_{v\rightarrow x}f(u)=f(x)\end{array}$$

pois $f$ é contínua em $x$. Da Desigualdade $\eqref{eq2}$ e do Teorema do Confronto que:

$$\label{eq3}\begin{equation}g'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f(x)\end{equation}$$

Se $x=a$ ou $x=b$, então a Equação $\eqref{eq3}$ pode ser interpretada como limites laterais e assim, é possível mostrar que a função $g(x)$ é contínua em $[a, b]$ (tente fazer esta demonstração e coloca nos comentários). Assim, podemos reescreva o TFC 1 como

$$\label{eq4}\begin{equation}\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\; dt=f(x)\end{equation}$$ quando $f$ for contínua.

$\blacksquare$

TFC 2 - Se $f$ for contínua em $[a, b]$, então

$$\int_a^b f(x)\; dx=F(b)-F(a)$$

onde $F$ é qualquer primitiva de $f$, isto é, uma função tal que $F'=f$

DEMONSTRAÇÃO

Sendo $g(x)=\int_a^x f(t)\; dt$ onde $g'(x)=f(x)$, então a função $g$ é uma primitiva de $f$. Assim, o que diferenciaria a $g$ de qualquer outra primitiva $F$ é uma constante $C$ tal forma

$$F(x)=g(x)+C\Leftrightarrow F'(x)=g'(x)=f(x)$$

Se tomarmos $x=a$ e $h=b-a\Rightarrow x+h=a+(b-a)=b$ na Equação $\eqref{eq}$ temos

$$\int_a^b f(t)dt=g(b)-g(a)$$

Se considerarmos qualquer primitiva $F$ de $f$, temos

$$F(b)-F(a)=[g(b)+C]-[g(a)+C]=g(b)-g(a)=\int_a^b f(t)dt$$

Assim, concluímos que

$$\int_a^b f(x)\; dx=F(b)-F(a)$$

$\blacksquare$

Considerações

O TFC pode ser enunciado da seguinte forma

TFC - Suponha que $f$ seja contínua em $[a, b]$

1. Se $g(x)=\int_a^x f(t)\; dt$, então $g'(x)=f(x);
2. $\int_a^b f(x)\; dx=F(b)-F(a)$, onde $F$ é qualquer primitiva de $f$, ou seja, é qualquer função tal que $F'=f$.

Como reescrevemos o TFC 1 como $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\; dt$$ e como $F'=f$, podemos reescrever o TFC 2 como $$\int_a^b F'(x)\; dx=F(b)-F(a)$$

Bibliografia

Stewart, James. Cálculo: volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

Nota

Parte do texto teve revisão gramatical utilizando a ferramenta ChatGPT, uma ferramenta de inteligência artificial desenvolvida pela OpenAI