Qual a Chance de um Fio de Macarrão Partir na Medida Certa?

Imagine que você tem um fio de macarrão de comprimento \( L \). Ao partir esse fio de maneira aleatória, você acaba com duas partes desiguais: uma parte menor de comprimento \( x \) e uma parte maior de comprimento \( L - x \), onde \( 0 < x < \frac{L}{2} \). Qual é a probabilidade de que essa parte menor tenha, pelo menos, metade do comprimento da parte maior? 

Solução

Vamos resolver esse problema passo a passo, utilizando raciocínio geométrico e proporções.

Passo 1: Interpretando a Condição

Nossa condição é que \( x \) seja, no mínimo, metade de \( L - x \). Vamos reorganizar a desigualdade para simplificar os cálculos:

1. Partimos da condição: \[ x \geq \frac{1}{2}(L - x). \]
2. Multiplicamos ambos os lados por 2, eliminando a fração: \[ 2x \geq L - x. \]
3. Somamos \( x \) aos dois lados para reunir todos os termos com \( x \): \[ 3x \geq L. \]
4. Por fim, dividimos ambos os lados por 3 para isolar \( x \): \[ x \geq \frac{L}{3}. \]

Portanto, para que \( x \) satisfaça a condição, ele deve ser maior ou igual a \( \frac{L}{3} \).

Passo 2: Determinando o Intervalo Válido para \( x \)

Como \( x \) representa a parte menor do fio, ele deve ser menor que \( \frac{L}{2} \). Assim, os valores possíveis para \( x \) estão no intervalo:

\[ 0 < x < \frac{L}{2}. \]

Com a condição de que \( x \geq \frac{L}{3} \), temos que o intervalo válido para \( x \) é:

\[ \frac{L}{3} \leq x < \frac{L}{2}. \]

Passo 3: Calculando a Probabilidade

Para encontrar a probabilidade, precisamos considerar que \( x \) é escolhido de forma uniforme no intervalo \( (0, \frac{L}{2}) \).

1. Comprimento do intervalo favorável: O intervalo que satisfaz nossa condição, \( \left( \frac{L}{3}, \frac{L}{2} \right) \), tem comprimento: \[ \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{3L - 2L}{6} = \frac{L}{6}. \]
2. Comprimento do intervalo total: O intervalo completo onde \( x \) pode estar é \( (0, \frac{L}{2}) \), com comprimento: \[ \frac{L}{2}. \]
3. Probabilidade: Dividimos o comprimento do intervalo favorável pelo comprimento do intervalo total para obter a probabilidade: \[ \text{Probabilidade} = \frac{\frac{L}{6}}{\frac{L}{2}} = \frac{1}{3}. \]

A probabilidade de que a parte menor do fio de macarrão seja, pelo menos, metade da parte maior é \( \frac{1}{3} \), ou aproximadamente 33,3%.