Matriz: entenda a definição e os principais termos

As matrizes estão por toda parte: na resolução de sistemas de equações, na modelagem de transformações geométricas, em algoritmos de inteligência artificial, na estatística e muito mais. Mas afinal, o que é uma matriz? Neste post, vamos sair da intuição visual e entrar em uma definição formal, explicando cada termo com precisão matemática.

🔢 Definição Formal de Matriz

Em matemática, uma matriz é uma função que associa a cada par ordenado de números inteiros positivos um número pertencente a um determinado conjunto (geralmente o conjunto dos números reais ou complexos).

Uma matriz de ordem $ m \times n $ (lê-se “m por n”) é uma função
$$ A: \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to \mathbb{K} $$ onde $ \mathbb{K} $ é um corpo numérico (como $ \mathbb{R} $ ou $ \mathbb{C} $).
O valor da função em cada par $ (i, j) $ é denotado por $ a_{ij} $.

📐 Interpretação Prática

Apesar da definição parecer abstrata, ela pode ser visualizada como uma tabela retangular de números com $ m $ linhas e $ n $ colunas. Cada número nessa tabela é chamado de elemento da matriz e está localizado na posição $ (i, j) $ — ou seja, linha $ i $ e coluna $ j $.

Notação geral:

$$ A = [a_{ij}]_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

• $ m $ → número de linhas
• $ n $ → número de colunas
• $ a_{ij} $ → elemento na linha $ i $ e coluna $ j $

🧩 Termos Importantes

🔹 Dimensão ou ordem

A matriz $ A $ tem dimensão $ m \times n $ quando possui $ m $ linhas e $ n $ colunas.

🔹 Elemento

Cada valor $ a_{ij} $ dentro da matriz. Por exemplo, na matriz:

$$ B = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} $$

• $ b_{11} = 7 $
• $ b_{32} = 2 $

🔹 Índices

Os pares $ (i, j) $ que indicam a posição dos elementos. O índice 1 sempre indica a primeira linha ou coluna.

🔹 Linha e Coluna

• Linha: Conjunto dos elementos com mesmo índice $ i $
• Coluna: Conjunto dos elementos com mesmo índice $ j $

🧠 Tipos de Matrizes (com exemplos)

✔️ Matriz Nula

Todos os elementos são zero:

$$ O_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

✔️ Matriz Identidade

Diagonal principal com 1s, o restante com 0s:

$$ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

✔️ Matriz Diagonal

Somente os elementos $ a_{ii} $ são diferentes de zero:

$$ D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $$

✔️ Matriz Escalar

Diagonal com todos os valores iguais:

$$ E = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$

✔️ Matriz Simétrica

Satisfaz $ A = A^T $ (igual à sua transposta):

$$ S = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$

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